【关于无穷小量乘积的讨论】无穷小量与无穷小量的乘积

第32卷第3期2002年5月

数学的实践与认识

V o l 132　N o 13　

M ay, 2002　

关于无穷小量乘积的讨论

孟　健, 　赵迁贵

(中国矿业大学数学与系统科学系, 221008摘要:　无穷小量的例子, .

关键词:　无穷小量; ; ; , 而无穷多个无穷小量的和却不一定是无穷小量. ? 首先有结论:

, 有限个无穷小量的乘积是无穷小量.

这里仅以自变量x 趋于x 0为例证明这个结论. 设当x →x 0时, 函数f 1(x ) , f 2(x ) , …, f n (x ) 为无穷小量, 由无穷小量的定义, 对函数f i (x ) (i =1, 2, …, n ) 有

对于任意给定的正数Ε, 总存在正数∆i , 使得对于适合不等式0

f i (x )

1Φi Φn

n

n

i

∏f

i =1

n

(x )

∏

i =1

Ε=Ε

都成立. 故有限个无穷小量的乘积∏f i (x ) 是当x →x 0时的无穷小量.

i =1

有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量, 那么无穷个无穷小量的乘积是否还是无穷小量呢? 结论从直观上看似乎是肯定的, 但是通过分析有限个乘积的证明看出, 此时对无穷多个∆i (i =1, 2, …) , 不一定能找到它们的最小值, 从而结论不一定成立. 事实上, 我们从以下的两个例子中可以知道

在自变量同一变化中, 无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量. 例1　考虑函数列

x , x

n

f n (x ) =

n , x Ε

n

显然对每一个给定的n , 函数f n

(x ) 都是当x →0时的无穷小量, 下面只需证明它们的无穷乘积当x →0时不是无穷小量.

取定Ε

N

f

n

N

=

N

, 当m

,

518数　学　的　实　践　与　认　识32卷

故

2N

∏f

n =1

n

N

N -1

2N

n

==

∏f

n =1

(x )

∏f

n =N

n

(x )

N

N -1

N (N +1) (N +2) …(N +N )

Ε1

注意到当m ΕN 时f m

N

=m , 因此, 函数列f n (x =) 正数Ε. 0, 故它不是x →0时的无穷小量

例2　考虑函数列

(x ) x Φn , ,

x

x >n

n , 函数f n (x ) 都是当x →∞时的无穷小量, 这里同样可证, 它x →∞时的无穷小量

.

对任意给定的正数X (不妨设X >1) , 总存在自然数N >X

, 由g n (x ) 的定义知

g m (N ) =

N

, 当m

2N

,

故

2N

N -1

n

∏g

n =1

(N ) =

=

∏g

n =1

n

(x )

∏g

n =N

n

(x )

N

N -1

N (N +1) (N +2) …(N +N )

Ε1

由于当m ΕN 时, g m (N ) =m >1, 故可取Ε0=1, 对任意的X >1, 总有适应 x >X 的N , 使得函数列g n (x ) (n =1, 2, …) 的无穷乘积的值大于等于Ε. 0, 因此结论成立

根据以上讨论, 我们还容易得到无穷多个负(正) 无穷大量的和不一定是负(正) 无穷大量的例子.

例3　设函数列

ln x ,

h n (x ) =

x

n

,

ln n ,

n

由无穷大量的定义, 对每个给定的n , 函数h n (x ) 为x →

0时的无穷大量, 由例1的方法可以证明, 它们的无穷和却不是当x →0时的无穷大量.

参考文献:

[1]　复旦大学数学系1数学分析[M ]. 上海:上海科学技术出版社, 1979. [2]　同济大学数学教研室1高等数学[M ]. 北京:高等教育出版社, 19971[3]　张晓宁等1高等数学习题课教程[M ]1徐州:中国矿业大学出版社, 19881

第32卷第3期2002年5月

数学的实践与认识

V o l 132　N o 13　

M ay, 2002　

On the I nf i n ite Product of the I nf i n itely S mall Quan tity

M EN G J ian , 　ZHAO Q ian 2gu i

(D epartm en t of M athem atics , Ch ina U n iversity of M in T ina ) Abstract :　In th is no te , w e con struct som itely p roduct of the infin itely s m all quan tity m ay be t infin s m .

Keywords :　; large quan tity ; infin itely sum ; infin ite p roduct

数字技术与科技进步

李　冰

(中央民族大学物理与电子工程系, 北京　100081)

摘要:　本文讨论并提出数字技术与数学科学的内在联系. 并根据实际的分析和研究, 认为数字化技术只

是信息化促进科技发展的一个阶段, 尽管数字技术已经并将继续推动科技和生产力的发展速度.

关键词:　数字技术; 数字化程序设计; 应用数学; 科技发展

0　序　　言

数字化和信息化有密不可分的联系, 进而影响着科技进步的现代化进程. 在上世纪末,

[4]

美国麻省理工学院教授、媒体实验室负责人尼葛洛庞帝出版了《数字化生存》一书, 引起了世界范围的广泛讨论[6]. 在新千年到来之际, 1999年12月, 美国的副总统戈尔曾在加利福尼亚科学中心作了“数字地球——认识我们这颗星球”的演讲[6]; 2000年6月5日光明日报报道了中国国家主席江泽民在接见中科院、工程院部分院士时, 也提到“数字地球”这一概念[6]. 在新世纪的新经济时代, 推动时代发展的根本力量, 仍必将是信息化和科技进步推动的全球经济一体化. 对科技进步的现状(包括数字技术) 与经济发展前景的联系, 会引起人们的各种思考. 一方面, 数字技术对推动科技进步

(以新颖性、创造性、实用性为标准) 带来的机遇, 不容忽略; 另一方面, 人类综合能力、实践能力和创新能力的提高, 也会推动数字信息化在更宽阔的领域里有所新的创造.

1　数字技术把数学和物理有机结合了起来

李政道博士曾经讲过, (上世纪) 的科学门类繁多, 总体可以归于数学和物理两类. 我们认为[1], 数学可以被理解为指导思维(特别是创新思维) 的科学; 而人类对外部的物质世界的被称为“物理”的研究, 可以归纳为对物质运动所表现出的信息进行“整理”和“条理”的工作. 物质运动的信息, 来自物体之间的相互作用, 大致可以分为物体之间的力的相互作用、物质