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    [2016年中学生报泄露天机卷(数学理科)]泄露天机文科数学

    时间:2019-07-14 08:41:42来源:佩佩美文网 本文已影响 佩佩美文网手机站
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    2016年5月高三高考当代中学生报泄露天机卷(数学理科)

    一、选择题

    1. 复数z 为纯虚数,若(3-i )⋅z =a +i (i 为虚数单位),则实数a 的值为( ).

    11

    A . B .3 C .- D .-3

    33

    2. 已知M ={y ∈R |y =x 2}, N ={x ∈R |x 2+y 2=2},则M N =( ).

    A .{(-1,1),(1,1) } B

    .⎡⎣ C .[0,1] D .{1}

    3. 已知命题p :∀x >0,x 3>0,那么⌝p 是( ).

    3

    A .∀x >0,x 3≤0 B .∃x 0≤0,x 0≤0

    3

    ≤0 C .∀x 0,x 0

    4. 若非零向量a , b (a -b ) ⊥(3a +2b ) ,则a 与b 的夹角为( ).

    π3ππ

    A. π B. C. D.

    24421

    225. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).

    A .20+2π B .20+3π

    侧视图正视图C .24+2π D .24+3π

    2S S

    6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足3-2=1,则数列

    32

    俯视图

    {a n }的公差d 等于( ).

    A .1 B .2 C .4 D .6

    22

    7. 直线y =kx +3与圆(x -3)+(y -2)=4相交于M , N 两点,

    若MN ≥则k 的取值范围是

    323( ).A .[-, 0] B .(-∞, -] [0,+∞) C

    .[ D .[-, 0]

    434

    1π⎫⎛

    8. 已知函数f (x )=cos 2x +⎪(x ∈R ),将y =f x ()的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的2

    4⎭⎝

    倍,纵坐标不变;再把所得的图象向右平移个单位长度,所得的图象关于原点对称,则ϕ的

    一个值是( ).A.

    9. 中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有( ).

    202310218

    A. A 1818种 B. A 20种 C. A 3A 18A 10种 D. A 2A 18种

    10. 函数f (x ) =xe cos x (x ∈[-π, π])的图象大致是( ).

    3π5π3π3π

    B. C. D.

    16 1648

    11. 如图,为了测量A 、C 两点间的距离,选取同一平面上B 、D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km ):A ,且∠B 与∠D 互补,则AC 的长为( ). B =B , C 5=C , D 8D , 3A =5=

    A .7km B .8km C .9km D .6km

    12. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似.执行该程序框图,若输入的a , b 分别为14,18,则输出的a 等于( ). A .2 B .4 C .6 D .8

    13. 下列说法正确的是( ). A .“若a >1,则a 2>1”的否命题是“若a >1,则a 2≤1” B .{a n }为等比数列,则“a 1

    C .∃x 0∈(-∞,0),使3x 0

    “n a t

    α3≠α≠

    π

    3

    14. 设正实数a ,b 满足a +b =1,则( ).

    111

    A. +有最大值4

    B.

    4a b

    D. a 2+

    b 2

    15. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

    A

    .π+ B

    .2π+ C

    .2π D

    .π33

    16. 如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下结论: ① 直线A 1B 与B 1C 所成的角为60︒;

    ②若M 是线段AC 1上的动点,则直线CM 与平面BC 1D

    所成角的正弦值的取值范围是③ 若P ,Q 是线段AC 上的动点,且PQ =1,则四面体. ; B 1D 1PQ 的体积恒

    其中,正确结论的个数是( ).

    A .0个 B .1个 C .2个 D .3个

    x 1

    17. 设k 是一个正整数,在(1+) k 的展开式中,第四项的系数为,记函数y =x 2与y =kx 的图

    k 16

    象所围成的阴影部分面积为S ,任取x ∈[0,4],y ∈[0,16],则点(x , y ) 恰好落在阴影区域S 内的概率是( ).

    2121 A . B . C . D .

    3356

    k

    18. 已知数列{a n }中,a 1=1, a 2k =a 2k -1+(-1), a 2k +1=a 2k +2k (k ∈N *),则{a n }的前60项的和S 60=( ).A .231-154 B .231-124 C .232-94 D .232-124

    19. 抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点为F ,准线为l ,A 、B 是抛物线上的两个动点,且满足

    MN π

    的最大值是( ) . ∠AFB =.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则AB 3

    321

    A . B . C .1 D .

    236

    20. 已知函数f (x ) =(x 2+ax +b )e x ,当b

    2⎤2⎤⎡1⎫⎛⎡2⎤-2, -, 2-∞, A .⎛ B . C . D . ⎪ ⎥⎢⎥⎢-, 2⎥

    3⎦

    ⎣3

    3⎦

    ⎣3

    a +b

    a -2

    21. 执行下面的程序框图,若输出的结果为

    1

    ,则输入的实数x 的值是2

    ________.

    22. 某校在一次测试中约有600人参加考试,数学考试的成绩X ~N (100, a 2)(a >0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之

    3

    间的人数约为总人数的,则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约

    5

    有___________人.

    23. 已知函数f (x )定义域为(0, +∞),其图象是连续不断的,且导数存在,若

    ⎛1⎫

    f (x )>xf "(x ),则不等式x 2f ⎪-f (x )

    ⎝x ⎭

    24. 并排的5个房间,安排给5个工作人员临时休息,假设每个人可以进入任一房间,且进入每个房间是等可能的,则每个房间恰好进入一人的概率是 .

    25. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到(x , y ) 的四组观测值并制作了相应的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 y =bx +60,其中b 的值没有写上.当x 等于

    -5时,预测y 的值为.

    26. 设f (x ) 是定义域在R 上的偶函数,对x ∈R ,都有f (x -2) =f (x +2) ,且当x ∈[-2,0]时,

    1

    f (x ) =() x -1,若在区间(-2,6]内关于x 的方程f (x ) -log a (x +2) =0(a >1) 至少有两个不同的

    2

    实数根,至多有3个不同的实数根,则a 的取值范围是 .

    x 2y 2

    27. 设F 1、F 2分别是双曲线C :2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点,P 是C 的右支上的点,射

    a b

    1

    线PT 平分∠F 1PF 2, 过原点O 作PT 的平行线交PF 1于点M , 若|MP |=|F 1F 2|, 则C 的离心率

    3

    为 .

    11λ

    +=28. 设G 为三角形ABC 的重心,且AG BG =0,若,则实数λ的值tan A tan B tan C

    为 .

    29. 若∀x ∈(0,1],不等式mx 3-ln x ≥1恒成立,则实数m 的取值范围是.

    30. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

    1 2 3 4 5„„„„2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 „„„„„„ 4027 4029 4031 8 12 16 „„„„„„„„ 8056 8060 20 28 „„„„„„„„„„„16116 „„„„„„„„„„„„„„„„

    该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为

    31.

    已知向量m =x ,cos x ), n =(cosx ,cos x ), x ∈R ,设f (x ) =m ⋅n . (1)求函数f (x ) 的解析式及单调增区间;

    (2)在△ABC 中,a , b , c 分别为角A , B , C 的对边,且a =1, b +c =2, f (A ) =1,求△ABC 的面积.

    32. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如

    55,65)图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[,

    [65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.

    (1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率; (2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内

    的产品件数为X ,求X 的分布列与数学期望.

    33. 如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD

    的正方形,PA ⊥BD . (1)求证:PB =PD ;

    (2)若E ,F 分别为PC ,AB 的中点,EF ⊥平面PCD ,求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.

    34. 自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”,“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户

    14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?

    (2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.

    ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;

    ②如果用ξ表示两种方案休假周数之和.求随机变量ξ的分布列及数学期

    望.

    35. 如图,已知四边形ABCD 内接于抛物线x 2=y ,点C (3,9),AC 平行于

    x 轴,BD 平行于该抛物线在点C 处的切线,∠BAD =90 .

    (1)求直线BD 的方程; (2)求四边形ABCD 的面积.

    36. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA BE , AB =PA =4,BE =2.

    (1)求证:CE 平面PAD ;

    (2)求PD 与平面PCE 所成角的正弦值; (3)在棱AB 上是否存在一点F ,使得平面DEF ⊥平面PCE ?如果存在,AF 求的值;如果不存在,说明理由. AB

    37. 设数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=1, S n =na n -3n (n -1), (n ∈N , n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)是否存在正整数n ,使得不存在,说明理由.

    a (x -1)

    (a ∈

    R ) . x

    (1)若a =1, 求y =f (x ) 在点(1, f (1))处的切线方程;

    S S 1S 2S 332

    +++⋅⋅⋅+n -(n -1)=2016?若存在,求出n 值;若123n 2

    38. 已知函数f (x ) =ln x -

    (2)求f (x ) 的单调区间;

    111-

    ln x x -12

    39. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,左顶点为A ,左焦点为F 1(-2,0),点

    B 在椭圆C 上,直线y =kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ,F 两点,直线AE ,AF 分别与y 轴

    (交于点M ,N .

    (1)求椭圆C 的方程;

    (2)以MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

    x 2

    -mx ,其中m >0. 40. 已知函数f (x )=ln (1+mx )+2

    x 3

    (1)当m =1时,求证:若-1

    3

    (2)试讨论函数y =f (x )的零点个数.

    参考答案与解析

    a +i 3a -1a +3

    =+i ,又z 为纯虚数,则 1.A 由题(3-i )⋅z =a +i ,得z =

    3-i 1010

    1

    3a -1=0, a =,检验符合题意.

    3

    2.B 由题意,知M ={y |y ≥

    0},N ={x |≤x ,所以M N =

    ⎡⎣.

    3

    3.D 全称命题的否定为特称命题,并将结论加以否定,所以⌝p 是∃x 0>0,x 0≤0.

    4.D (a -b ) ⋅(3a +2b ) =-a ⋅b -=α-,其中α为a 与b 的夹角,因为

    ,所以

    有,

    (a -b ) ⊥(3a +2b ) 入,求得cos α-=0

    cos α=⇒α=.

    24

    5.B 根据三视图的特征,得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体.其底面积

    ⎛π⎫

    S =2⨯ +22⎪=8+π;底面周长C =π+6;侧面面积为(π+6)⨯2=12+2π.所以几何体的

    ⎝2⎭

    表面积等于(8+π)+(12+2π)=20+3π.

    S S S 11

    6.B 等差数列的前n 项和为S n =na 1+n (n -1) d ,所以有n =a 1+(n -1) d ,代入3-2=1中,

    322n 2

    S S 111

    即3-2=a 1+(3-1) d -[a 1+(2-1) d ]=d ,所以有d =2. 32222

    7.A 圆心的坐标为(3,2) ,设圆心到直线的距离为d

    ,则由点到直线距离公式,有d 32

    8k +6k ≤0[-, 0]. ∴|MN |=

    ,解得 |MN |≥4

    8.A 将y =f (x )的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的

    1

    倍,纵坐标不变,可得函数2

    π⎫⎛

    f (x )=cos 4x +⎪的图象;再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度,可得函数

    4⎭⎝

    ππ

    y =cos [(4x -|ϕ|)+]=cos (4x +-4|ϕ|)的图象.结合所得的图象关于原点对称,可得

    44

    3πππk ππ

    -4|ϕ|=k π+,即|ϕ|=--, k ∈Z , 则ϕ的一个值是.

    1642416

    9.D 21国领导人中,除了中美俄三国需要指定位置外,其余18国领导人可以任意排序,虽然

    218

    分前后两排,但不影响排序结果,所以有A 18种站法,而中美俄三国领导人根据要求则有A 2种

    218站法,因为这两个事件互不影响,所以共有A 2A 18种站法.

    10.B 易得f (x ) =xe cos x (x ∈[-π, π])为奇函数,图象关于原点对称,故排除A ,C ,

    , ) ,使得当x ∈(0,x 0) 时,f "(x ) =e +xe ⋅(-sin x ) =e (1-x sin x ) ,显然存在x 0∈(0π

    ,x ∈(x 0, π) 时,f "(x ) 0

    11.A 在∆ABC 中,由余弦定理,得AC 2=AB 2+BC 2-2AB BC cos B ,即AC 2=25+64-

    2⨯5⨯8cos B =89-80cos B .

    在∆ADC 中,由余弦定理,得AC 2=AD 2+DC 2-2AD DC cos D ,

    即AC 2=25+9-2⨯5⨯3cos D =34-30cos D .因为∠B 与∠D 互补,所以cos B =-cos D ,所以34-AC 289-AC 2-=,解得AC =7.

    3080

    12.A 第一次循环,得b =18-14=4,a =14;第二次循环,得a =14-4=10, b =4;第三次循环,得a =10-4=6, b =4;第四次循环,得a =6-4=2, b =4;第五次循环,得b =4-2=2, a =2,此时a =b =2,不满足循环条件,退出循环,输出a =2.

    13.D A 中的否命题没有否定条件,所以A 错误;B 中由a 10, q >1或

    cos x cos x cos x

    a 1q 所以B 错误;C 中∀x ∈(-∞,0),3x >4x ,所以C 错误. 14.C a >0, b >0,由基本不等式得1=a +b ≥2ab ,∴ab ≤

    11,∴ab ≤,

    42

    a +=a +b +2ab =1+2ab ≤1+1=2

    15.A 由三视图知该几何体是一个组合体,下面是圆柱,上面是三棱锥,如图三棱锥D -ABC 中,AC 是圆柱底面直径,B 在底面圆周上,DO ⊥平面ABC ,O

    是圆心,尺寸见三视图,则

    111111a +b 1

    +==≥4,因此+的最小值为4,a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ≥1-=,

    22a b a b ab ab

    )

    2

    11V =π⨯12⨯1+⨯⨯1⨯2

    =π.

    32D

    A

    B

    O

    C

    16.D ①在∆A 1BD 中,每条边都是2,即为等边三角形,∴A 1B 与A 1D 所成角为60°,又BC 1∥∴直线A 1B 与BC 正确;②由正方体可得平面BDC 1⊥平面ACC 1,当M A 1D ,1所成的角为60°,

    点位于AC 1上,且使CM ⊥平面BDC 1时,直线CM 与平面BDC 1所成角的正弦值最大为1,当M 与C 1重合时,连接CM 交平面BDC 1所得斜线最长,直线CM 与平面BDC 1所成角的正弦值最小

    ∴直线CM 与平面BDC

    1所成角的正弦值的取值范围是,正确;③连接B 1P ,BQ 1,设D 1到平面B 1AC 的距离为h ,则h

    =B 1到直线AC

    PQB 1D 1的体

    11积V =⨯⨯1,正确.∴正确的命题是①②③. =

    32

    x

    17.D 由二项展开式的通项公式,得T r +1=C k r () r ,令r =3,

    k

    11(k -1)(k -2) 1

    =⇒k =4, 则C k 3⋅3=⇒2

    k 166k 16

    32

    413214

    =∴S =⎰(4x -x 2) dx =(2x 2-x 3) |0,所求概率P ==.

    0334⨯166

    18.C 由题意,得a 2=a 1-1=0, a 4=a 3+1, a 6=a 5-1, , a 60=a 59+1,所以S 奇=S 偶.又

    k -1

    ) 代入a 2k =a 2k -1+(-1) k ,得a 2k =a 2k -a 2k -1=a k -2k -1(k ≥2,+(-1) 2+22+2

    k

    (k ≥2) ,所以a 2=0,

    a 4=a 2+21+(-1) 2,a 6=a 4+22+(-1) 3,a 8=a 6+23+(-1) 4,„,a 2k =a 2k -2+2k -1+(-1) k ,将上式相加,得a 2k =2+22+ +2k -1+(-1) 2+(-1) 3+ +(-1) k

    1-(-1) k -13+(-1) k -1k

    =2-=2-2+, 22

    2(1-230) 1232930

    -45 所以S 偶=(2+2+2+ +2+2) -(15⨯2+15⨯4) =

    21-2

    =231-47,所以S 60=2(231-47) =232-94.

    k

    19. C 如图,过点A 作AG ⊥l 与G ,过点B 作BE ⊥l 与E ,由抛物线的性质可知AG =AF , BE =BF ,

    11

    M 是AB 中点,所以MN 是梯形AGEB 的中位线,则MN =(AG +BE ) =(AF +BF ) ,在三角形

    22

    ABF 中,

    AB =AF 2+BF 2-2AF ⋅BF cos

    2

    π

    3

    =AF 2+BF 2-AF ⋅BF ,

    1

    (AF +BF ) 2

    MN 3AF ⋅BF 1则==(1+) 22222

    4AB AF +BF -AF ⋅BF AF +BF -AF ⋅BF

    =

    1313

    (1+) ≤(1+) =1,当且仅当AF =BF 时,不等式取等号. 442-1AF BF

    +-1BF AF

    20.A f "(x ) x =[x 2+(a +2)x +a +b ]e x , 因为函数f (x ) 在(-∞, -2),(1,+∞)上均为增函数,所以f "(x ) ≥0在(-∞, -2),(1,+∞)上恒成立,即[x 2+(a +2)x +a +b ]e x ≥0在(-∞, -2),

    (1,+∞)上恒成立,令h (x ) =x 2+(a +2) x +a +b ,则h (x ) ≥0在(-∞, -2),(1,+∞)上恒成立,所以有

    h (-2) =(-2) 2+(a +2) ⨯(-2) +a +b =

    ⎧-a +b ≥0⎪2a +b +3≥0

    a +2⎪

    -a +b ≥0,h (1)=1+(a +2) +a +b =2a +b +3≥0,-2≤-≤1, 即a , b 满足⎨, 在

    2⎪b

    ⎪⎩-4≤a ≤2

    b +2a +b a -2+b +2b +2

    直角坐标系内作出可行域,,其中k =表示的几何意义为点==1+

    a -2a -2a -2a -2

    12

    P (2,-2) 与可行域内的点Q (a , b ) 两点连线的斜率,由图可知-3

    33

    2a +b

    的取值范围为(-

    2, ]. a -23

    21. 2. 当x >1时,y =log 2x =

    311

    ,所以x =x ≤1时,y =x -1=,所以x =,不符

    222

    合题意.故应填2.

    22. 120 因为成绩X ~N (100, a 2),所以其正态曲线关于直线x =100对称,又成绩在80分到120

    3

    ,由对称性知,成绩在120分以上的人数约为总人数的5

    13111-)=,所以数学考试成绩不低于120分的学生约有⨯600=120人. 2555

    f (x )

    (x >0) ,因为f (x )>xf "(x ), 23. (0, 1) 令g (x ) =x

    xf "(x ) -f (x )

    x 2

    1f ()

    1f (x ) 1⎛1⎫

    将x 2f ⎪-f (x )x ,

    1x x x ⎝x ⎭

    x

    解得0

    2424. 依题意可知,每一个人入住的方法都是5种,所以5人入住的方法总数为55=3152种,

    625

    5

    而每个房间恰好进入一人的方法数是A 5=120种,因此,每个房间恰好进入一人的概率是

    分之间的人数约为总人数的

    5A 512024==. 553125625

    25. 70 由已知,x =

    18+13+10-124+34+38+64

    =10,y ==40,所以40=10b +60, b =-2,

    44

    ˆ=-2x +60,当x =-5时,y ˆ=70. y

    x ∈R ,都有f (x -2) =f (x +2) ,

    26. 2 因为对

    所以f (x )=f (x +4), ∴T =4, 作出函数y =f (x )与y =log a (x +2) 的图象,如图所示,由图象可知

    )

    ⎧log a 4≤3

    , ≤a

    2. ⎨

    log a 8>3

    设PT 交x 轴于点T

    OM ∥PT

    2m -c

    =c ,则FT =mc ,所以F T =2c -mc ,又PT 是∠F PF 的角平分线,则即1212

    2m FT 1m -c m -c 33

    F P FT 4c 3有1=1,代入整理得m -2a =m -c ,所以离心率为e ==.

    3a 2F 2P F 2T

    1

    如图,连接CG ,延长交AB 于D ,由于G 为重心,故D 为中点,因为AG ⊥BG ,所以213DG =AB ,由重心的性质得CD =3DG ,即C D =A ,B 由余弦定理得

    22AC 2=AD 2+CD 2-2AD ⋅CD ⋅cos ∠ADC ,

    BC 2=BD 2+CD 2-2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC ,因为∠A D C ,D 所以+∠B πD , =C A =B D

    1911λ22

    +=AC 2+BC =2AD +2CD ,所以AC 2+BC 2=AB 2+AB 2=5AB 2,又,

    22tan A tan B tan C

    c A o λB s c C o s

    +=所以,所以s A i B n C s i n

    λ(sinA cos B +cos A sin B )sin C sin 2C AB 2AB 2

    ====222sin A sin B cos C 2sin A sin B cos C 2BC ⋅AC ⋅cos C BC 2+AC -AB

    AB 211

    λ===,所以.

    22

    25AB -AB 4

    28.

    29. [

    e

    , +∞) 由mx 3-ln x ≥1,得mx 3-ln x ≥1或mx 3-ln x ≤-1,即mx 3≥ln x +1或mx 3≤ln x -1. 3

    2

    ⎫或m ≤⎛⎫. 又x ∈(0,1],所以m ≥ln x 3+1或m ≤ln x 3-1,所以m ≥⎛ ⎪ ⎪⎝x 3⎭max ⎝x 3⎭min x x

    2⋅x 3-(lnx +1) ⋅3x 2-2x 1(+l x -ln x +1=(1)令f (x ) =,则f "(x ) =,令f "(x 得x =e

    x x x 当00;当e

    22

    --+12223-e l n e +1e

    是减函数. 所以f (x ) max =f (e 3) ==-2=,所以m ≥. 2

    -3e 3(e 3) 3

    1⋅x 3-(lnx -1) ⋅3x 2

    224x -3x ln x ,因为x ∈0,1,所以ln x ≤0,"=g (x ) =(2)令g (x ) =,则(]x 6x 6x 3

    所以易知g "(x ) >0,所以g(x ) 在(0,1]上是增函数. 易知当x →0时,g(x ) →-∞,故g (x ) 在(0,1]上

    -2

    3

    -23

    -

    23

    -

    23

    e

    无最小值,所以m ≤3在(0,1]上不能恒成立. 综上所述,m ≥,即实数m 的取值范围是

    3x

    e 2

    [, +∞) . 3

    30. 2017⨯22014 第一行为1、2、3的三角形,最后一行的数为(3+1)⨯21;第一行为1、2、3、

    4的三角形,最后一行的数为(4+1)⨯22;第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为

    2

    3,2016最后一行的数为(2016+1)⨯22014=2017⨯22014. 2、„,可猜想第一行为1、„,(5+1)⨯23;

    三、解答题

    11

    31. 解:(1

    )f (x ) =m ⋅n =cos x +cos 2x =2x +cos 2x +

    22

    π1

    =sin(2x +) +,

    62πππππ

    由-+2k π≤2x +≤+2k π, k ∈Z 可得-+k π≤x ≤+k π,

    26236

    π⎡π⎤

    -+k π, +k π⎥,k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎢

    6⎣3⎦

    π1

    (2) f (A ) =1, ∴sin(2A +) =,

    62

    ππ13π

    0

    666π5ππ∴2A +=, ∴A =.

    663

    由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,

    π

    得1=b 2+c 2-2bc cos =4-3bc , ∴bc =1,

    3

    13

    . ∴S ∆ABC =bc sin A =

    24

    32. 解:(1)设区间[75,85]内的频率为x ,

    则区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x 和2x .

    依题意得(0.004+0.012+0.019+0.03)⨯10+4x +2x +x =1,解得x =0.05.

    所以区间[75,85]内的频率为0.05.

    (2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验, 所以X 服从二项分布B (n , p ),其中n =3.

    由(1)得,区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,

    将频率视为概率得p =0.6.因为X 的所有可能取值为0,1,2,3,

    012

    且P (X =0) =C 3⨯0.60⨯0.43=0.064,P (X =1) =C 13⨯0.6⨯0.4=0.288,

    230P (X =2) =C 3⨯0.62⨯0.41=0.432,P (X =3) =C 33⨯0.6⨯0.4=0.216. 所以X 的分布列为:

    X 服从二项分布B (n , p ),所以X 的数学期望为EX =3⨯0.6=1.8.

    33. 解:(1)连接AC ,交BD 于点O ,∵底面ABCD 是正方形, ∴AC ⊥BD ,且O 为BD 的中点,又∵PA ⊥BD ,PA AC =A , ∴BD ⊥平面PAC ,由于PO ⊂平面PAC ,故BD ⊥PO , 又∵BO =DO ,故PB =PD ;

    (2)设PD 的中点为Q ,连接AQ ,EQ ,,

    ∴AFEQ 为平行四边形,EF //AQ ,∵EF ⊥平面PCD , ∴AQ ⊥平面PCD ,∴AQ ⊥PD ,PD 的中点为Q ,

    Q

    ∴AP =AD =,由AQ ⊥平面PCD ,又可得AQ ⊥CD , 又∵AD ⊥CD ,AQ AD =A ,∴CD ⊥平面PAD , ∴CD ⊥PA ,又∵BD ⊥PA ,

    ∴PA ⊥平面ABCD ,由题意,AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,向量AB ,AD ,

    AP 的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0, 0) ,

    ,D ,P , AQ =(0,,PB =,而AQ 为平面PCD 的一个法向量,

    22

    PB ⋅AQ 1π=,sin θ=设直线PB 与平面PCD 所成角为θ,∴直线PB 与平面PCD 所成角为.

    6|PB |⋅|AQ |2

    B ,Q 34. 解:(1)由表中信息可知,当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P 1=当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P 2=

    41

    =; 20050

    162

    = 20025

    (2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ,由已知从5种不同安排方案中,

    2

    随机地抽取2种方案选 法共有C 5, =10(种)

    其和不低于32周的选法有(14,18)、(15,17)、(15,18)、(16,17)、(16,18)、(17,18),共6种,

    63=. 由古典概型概率计算公式得P (A ) =

    105

    ②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.

    112

    P (ξ=29) ==0.1,P (ξ=30) ==0.1, P (ξ=31) ==0.2,

    101010

    2211=0.2, P (ξ=33) ==0.2, P (ξ=34) ==0.1, P (ξ=35) ==0.1, 10101010

    因而ξ的分布列为

    33⨯0.2+34⨯0.1+35⨯0.1=32.

    2

    35. 解:(1)由C (3,9)及AC 平行于x 轴知A (-3,9) ,设B (x 1, x 12) ,D (x 2, x 2) ; P (ξ=32) =

    由题意知,过点C 的切线斜率存在,故设切线的方程为y -9=k (x -3) ,

    ⎧y -9=k (x -3) 联立⎨⇒x 2-kx +3k -9=0. 2

    y =x ⎩

    ∆=(-k ) 2-4(3k -9) =0⇒(k -6) 2=0⇒k =6. 从而k BD =k =6.

    从而设直线BD 的方程为y =6x +m , ⎧y =6x +m 2

    ⇒x -6x -m =0. ⎨2

    ⎩y =x

    则x 1+x 2=6, x 1x 2=-m ,

    又因为∠BAD =90 ,所以

    2

    x 12-9x 2-9

    k AB ⋅k AD =-1⇒⋅=(x 1-3)(x 2-3) =-1⇒x 1x 2-3(x 1+x 2) +9=-1.

    x 1+3x 2+3

    即-m -3⨯6+9=-1⇒m =-8. 故直线BD 的方程为y =6x -8.

    (2)解方程x 2-6x +8=0,可得 B (2,4) ,D (4,16), 四边形ABCD 面积S =S ∆ACD +S ∆ACB 111

    =⨯AC ⨯y D -y C +⨯AC ⨯y B -y C =⨯6⨯(7+5) =36.

    222

    36. 解:(1)设PA 中点为G ,连结EG ,DG , 因为PA //BE ,且PA =4,BE =2, 所以BE //AG 且BE =AG ,

    所以四边形BEGA 为平行四边形, 所以EG //AB ,且EG =AB .

    因为正方形ABCD ,所以CD //AB ,CD =AB , 所以EG //CD ,且EG =CD ,

    所以四边形CDGE 为平行四边形, 所以CE //DG .

    因为DG ⊂平面PAD ,CE ⊄平面PAD , 所以CE //平面PAD .

    (2)如图,建立空间坐标系,则B (4,0,0),C (4,4,0),E (4,0,2),P (0,0,4),D (0,4,0),

    所以PC =(4,4, -4),PE =(4,0, -2),PD =(0,4, -4).

    ⎧⎪m ⋅PC =0⎧x +y -z =0

    设平面PCE 的一个法向量为m =(x , y , z ),所以⎨ . ⇒⎨

    ⎪⎩m ⋅PE =0⎩2x -z =0

    ⎧x =1

    y =1x =1令,则⎨,所以m =(1,1,2). ⎪z =2⎩

    设PD 与平面PCE 所成角为α,

    m ⋅PD

    则sin α=cos ==

    PD m

    =. . 6

    (3)假设存在点F (a ,0,0)满足题意,则F E =(4-a , 0, 2),

    DE =(4, -4,2).

    ⎧⎪n ⋅DE =0⎧⎪2x -2y +z =0

    设平面DEF 的一个法向量为n =(x , y , z ),则⎨ , ⇒⎨

    4-a x +2z =0)⎪⎪⎩(⎩n ⋅FE =0

    ⎧x =2⎪ ⎛a a ⎪⎫

    令x =2,则⎨y =,所以n = 2, , a -4⎪.

    2⎝2⎭⎪⎪⎩z =a -4

    因为平面DEF ⊥平面PCE ,

    a

    所以m ⋅n =0,即2++2a -8=0,

    2

    AF 312⎛12⎫

    =. 所以a =

    37. 解:(1)S n =na n -3n (n -1) ,(n ∈N, n ≥2) , 所以n ≥3时,S n -1=(n -1) a n -1-3(n -1)(n -2) ,

    所以PD 与平面PCE

    所成角的正弦值是

    两式相减,得a n =S n -S n -1=na n -(n -1) a n -1-3(n -1)[n -(n -2)], 即(n -1) a n =(n -1) a n -1+6(n -1) ,也即a n -a n -1=6(n ≥3), 又由S n =na n -3n (n -1) ,(n ∈N, n ≥2) ,得a 2-a 1=6, 所以{a n }是公差为6的等差数列,且a 1=1, 所以a n =6n -5.

    (2)S n =na n -3n (n -1)=n (6n -5) -3n (n -1) =3n 2-2n (n ∈N *) ,

    S

    所以n =3n -2,

    n

    S S 1S 2S 33n (n +1) 31

    +++... +n =3(1+2+3+... +n ) -2n =-2n =n 2-n , 123n 222

    S S 3S S 3135n 3

    -=2016, 所以1+2+3+... +n -(n -1) 2=n 2-n -(n -1) 2=

    123n 222222所以5n =4035,所以n =807,

    S S 1S 2S 33

    +++... +n -(n -1) 2=2016. 123n 2

    1

    38. 解:(1)a =1时,f (x ) =ln x +-1,

    x

    x -1

    所以f "(x ) =2,

    x

    f "(1)=0,又f (1)=0, 所以切线方程为y =0.

    x -a

    (2)f (x ) 的定义域为(0,+∞) ,f "(x ) =2,

    x

    ①若a ≤0, 则f "(x ) >0,f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增 ,

    ②若a >0,则当x ∈(0,a ) 时,f "(x ) 0,f (x ) 在(a , +∞) 单调递增.

    111-0, (3) 1

    ln x x -12

    (x +1) 1

    -2=ln x +-1, 令F (x ) =(x +1)ln x -2(x -1) ,则F "(x ) =ln x +x x

    由(2)知,当a =1时,f min (x ) =f (1)=0,

    1

    ∴f (x ) >f (1),即ln x +-1≥0,

    x

    所以F "(x ) ≥0,则F (x ) 在(1,2) 上单调递增, 所以F (x ) >F (1)=0,

    111

    ln x x -12

    x 2y 2

    39. 解:(1) 设椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0) ,

    a b

    因为椭圆的左焦点为F 1(-2,0),所以a 2-b 2=4,

    即当n =807时,

    因为点B 2在椭圆C 上,所以

    (42

    +=1,

    a 2b 2

    解得a =b =2,

    x 2y 2

    =1. 所以椭圆C 的方程为+

    84

    (2)因为椭圆C 的左顶点为A ,则点A

    的坐标为(-).

    x 2y 2

    =1交于两点E ,F , 因为直线y =kx (k ≠0) 与椭圆+

    84

    设点E (x 0, y 0)(不妨设x 0>0),则点F (-x 0, -y 0),

    ⎧y =kx ,

    ⎪8

    联立方程组⎨x 2y 2,消去y ,得x 2=,

    2

    =11+2k ⎪+4⎩8

    所以x 0=

    y 0=

    所以直线AE

    的方程为y =

    因为直线AE ,AF 分别与y 轴交于点M ,N ,

    x +,

    ⎛M

    ⎝⎛⎫

    同理可得点N ,

    ⎝令x =

    0,得y =

    所以

    MN =

    =

    ⎛设MN 的中点为

    P ,则点P 的坐标为P 0, .

    ⎝⎭

    ⎛则以MN 为直径的圆的方程为x + y +⎝⎭

    2

    2

    , =

    2

    y =4. k

    令y =0,得x 2=4,即x =2或x =-2.

    即x 2+y 2+

    故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0),P 2(-2,0).

    x 3-x 340. 解:(1)当m =1时,令g (x )=f (x )-, (-1

    31+x

    当-10,∴g "(x )≥0,函数g (x )递增,

    x 3

    ∴当-1

    3

    ⎡⎛1⎫⎤mx ⎢x - m -⎪⎥

    m ⎭⎦1⎣⎝(2)f "(x )= „② ,令f "(x )=0,得x 1=0,x 2=m -,

    m 1+mx

    x 2

    (a )当m =1时,x 1=x 2=0,由②得f "(x )=„③

    1+x

    ∴当x >-1时,1+x >0,x 2≥0, ∴f "(x )≥0,此时,函数f (x )为增函数,

    ∴-10时,f (x )>f (0)=0,

    故函数y =f (x )在x >-1时有且只有一个零点x =0 ;

    111

    (b)当0

    m m m 1⎤1⎫⎛1⎛

    由②知,当x ∈ -, m -⎥,1+mx >0,mx

    m ⎦m ⎭⎝m ⎝

    1⎤⎛

    此时,f "(x )≥0;同理可得,当x ∈ m -,0⎥,f "(x )≤0;当x ≥0时,f "(x )≥0;

    m ⎦⎝

    1⎤1⎤⎛1⎛

    ∴函数y =f (x )的增区间为 -, m -⎥和(0,+∞),减区间为 m -,0⎥,

    m ⎦m ⎦⎝m ⎝

    1

    故当m -0时,f (x )>f (0)=0,

    m

    1⎛⎫

    ∴函数y =f (x ),x ∈ m -, +∞⎪有且只有一个零点x =0;

    m ⎝⎭

    1⎛1⎫1⎫1⎛1⎫⎛

    又f m -⎪=ln m 2- m 2-2⎪,构造函数ϕ(t )=ln t - t -⎪,0

    2⎝t ⎭m ⎭2⎝m ⎭⎝

    11⎛1⎫-(t -1) „④,易知,∀t ∈(0,1),ϕ"(t ) ﹤0, ∴函数y =ϕ(t )(0

    t 2⎝t ⎭t

    为减函数,∴ϕ(t )>ϕ(1)=0,

    1⎫1⎛1⎫⎛

    由00„⑤,

    m ⎭2⎝m ⎭⎝

    1-x

    构造函数k (x )=ln x -x +1(x >0),则k "(x )=,当01时,

    x

    k "(x )

    --1111

    ln 2≤2-1

    1

    2

    11e -11

    ,当-

    m m m m m

    x 21

    -mx

    x 211

    -mx

    e

    -

    1m

    2

    -1

    -1

    -

    1m 2

    -1

    1e m -11⎤⎛1

    又函数y =f (x )在 -, m -⎥上递增,m ->,

    m m m ⎦⎝m

    -

    1

    2

    -1

    ⎛1m 2-1⎫

    由⑤⑧和函数零点定理知,∃x 0∈ -, ⎪,使得f (x 0)=0,

    m m ⎝⎭

    x 2

    -mx 有两个零点, 综上,当0

    1⎛1⎤

    (c )当m >1时,m ->0,由②知函数y =f (x )的增区间是 -,0⎥,

    m ⎝m ⎦

    11⎫⎡⎫⎛

    和⎢m -, +∞⎪,减区间是 0, m -⎪„⑨,

    m m ⎭⎣⎭⎝

    由④知函数y =ϕ(t ),当t >1为减函数,∴当t >1时ϕ(t )

    1⎫1⎫⎛⎛

    从而f m -⎪2m 时, 其中2m >m -⎪,1+mx >1,

    m ⎭m ⎭⎝⎝

    x 2x

    f (x )=ln (1+mx )+-mx =ln (1+mx )+(x -2m )>0„⑩,

    22

    11⎛⎫

    又x >m -时,函数y =f (x )递增,∴∃x 0∈ m -,2m ⎪使得f (x 0)=0,

    m m ⎝⎭

    1⎫⎛1⎫⎛

    根据⑨知,函数x ∈ -,0⎪时,有f (x )

    m ⎭⎝m ⎭⎝

    11

    y =f (x ) 在(-, m -) 上有且只有一个零点x =0,

    m m

    ∴m >1时,函数y =f (x )有两个零点.

    综上所述:当01时,函数y =f (x )有两个零点,

    当m =1时,函数y =f (x )有且仅有一个零点.

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