构造函数在导数解证不等式中的应用

构造函数在导数解证不等式中的应用

汕头市潮南区胪溪中学   胡小霞

解决不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式问题采用常规方法难以解决，若能巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数问题，使问题获得较好解决。本文就近几年高考题中与不等式有关的几道试题予以简要剖析，以此体会导数法解决不等式证明问题及恒成立问题有效性.通过构造新函数成为解证不等式的良好“载体”，以下通过具体实例加以说明。

一、利用导数证明不等式

根据不等式的特点构造函数，通过新函数的导数来证明单调性,然后再利用新函数的最值达到证明不等式的目的。即把证明不等式问题转化为函数问题。具体有如下几种形式：

1、 直接作差“构造函数”证明不等式

题目：已知函数，求证：当时，恒有

分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。

证明： 

∴当时，，即在上为增函数；

当时，，即在上为减函数，故函数的单调递增区间为，单调递减区间。于是函数在上的最大值为。

因此，当时，，即∴ （右边得证），

现证左面，构造新函数

时，；
时，。即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，

∴当时，，即∴（左边得证）

综上可知，当 

本题首先根据题意作差“构造函数”，通过导数判断新函数的单调性，利用最值，从而达到证明不等式的目的。

2、适当放缩后再“构造函数”证明不等式

题目：已知函数其中n∈N*,为常数.当时，证明：当n为奇数时,当时，有.

分析：对当n为奇数时的进行放缩处理，再移项作差“构造函数”，利用导数判断其单调性。

证明：因为a=1,所以   因为n为奇数，时，＜0，

要证, 所以只需证,令,

,所以当时，单调递增，

又， 所以当时，恒有,

即命题成立. 综上所述，当n为奇数时,当时，有.

本题与直接“构造函数”不同，在当n为奇数时,先进行了适当放缩后再进行构造，使本来复杂的函数变得简单容易处理，较为简捷；
但放缩要注意恰到好处。

3、利用式子的相似来“构造函数”证明不等式

题目：对任意实数a和b,成立不等式

分析：根据不等式中式子的结构特点,形状相似于函数在相应几个点的函数值

证明：构造函数

所以内严格递增。于是

由得

即 ，又因为

即证得

这个分式不等式中的绝对值不便于去掉，所以通过分析不等式左右两边各式的相似之处，将相似的量当做是所构造的函数的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明。

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 (或)恒成立，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法

题目：已知函数的最大值为0，若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.

解析:不等式等价于不等式

由知,所以   ,换元令，

构造函数：  

由已知得构造函数，

所以当得在上为减函数.

故函数在上的最小值为，所以的最大值为。

本题主要是先两边取对数再进行参数分离并进行构造新函数转化利用单调性求最小值解决问题；
值得注意的是本题在当导数的符号难以直接判断时可以考虑进行二次构造新函数，是典型的用“构造函数”转化并解决问题的好例。

总之，不论是证明不等式还是解不等式恒成立问题，只要我们仔细研究不等式的结构特征，联想到“构造函数”再结合导数的知识来证明不等式或解决恒成立问题，这类问题的解决就会变得轻车熟路。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。