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    用极限的定义证明极限【略论用定义证明极限的教学】

    时间:2019-09-16 08:22:32来源:佩佩美文网 本文已影响 佩佩美文网手机站
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    74  娄 底 师 专 学 报             总第59期

    略论用定义证明极限的教学

    杨曼英

    (娄底师范高等专科学校,湖南娄底 417000)

    摘 要:利用极限定义证明数列极限与函数极限,并指出证题过程中可能出现的错误。

    关键词:极限;数列;函数中图分类号:O17 文献识别码:A 文章编号:1008-1666(1999)04-0074-05

    TeachingonEvaluationofLimitbyDefinition

    YangM(,,)

    ofisusedprovelimitofanumbersequenceandfunctionlim2itofmistakesinthecourseofprovingisalsopointedout.

    Keywords:limit;sequenceofnumber;function.

    极限理论是数学分析最基本的也是最重要的概念之一,它的思想贯穿整个分析始终.同时

    也是教与学的难点.这是因为它的定义及证明方式都与初等数学有着显著的区别.高等数学与初等数学研究对象的最大不同点就是初等数学描述事物多是相对稳定和相对静止的,而高等数学描述事物则是运动与变化的过程,这个不同点就使得数学方法出现了一个飞跃———产生了极限方法.

    学生由中学进入大学,马上就接触了极限理论与方法,由于初等数学证明思想的束缚使学生对此极不习惯,普遍的感觉是极限理论抽象,极限方法难以掌握,因此这就增加了讲授的难度,多数学生觉得教师在课堂上讲授的似乎都懂了,但独立完成习题却感困难.根据这些情况,我是这样讲授用极限定义证明数列极限与函数极限的.

    1 用定义证明数列极限

    数列极限的定义:

    ε>0,ϖN,当n>N时都有:|an-A|

    收稿日期:1999-03-09

    ),女,湖南平江人,娄底师范高等专科学校数学系副教授.主要从事数学分析、作者简介:杨曼英(1955—

    高等数学研究

    1999年第4期             杨曼英:略论用定义证明极限的教学         75

    数列{an}的极限为A,记为liman=A.

    n→∞

    ε-N”按“定义证明数列{

    an}的极限为A,一般从解不等式|an-A|

    ),取f(ε)的整数部分为N,则由数列极限定义证得liman=A.出n,得一个不等式n>f(ε

    n→∞

    从定义可以看出,数列极限的证明关键在于N的“存在”,而不是求“最小”的N,所以如果

    从|an-A|

    ).由于应用g(n)必须仍为无穷小量.g(n)

    该法没有具体的模式.因此,同学们往往会出现这样或那样的错误,针对这些情况,我在讲授

    时,尽可能地说明如何化简|an-A|,以求出N来.

    例1 证明lim=

    n→∞4n+14

    学生容易出现下面的错误证法:

      ∵-=

    ε4n+144(4n+1)

    ε>0,取N=即 n>ε,∴Π,

    2020则当n>N时,有-

    n→∞4n14n+144

    ∵|an-A|=-=4n+144n由ε|anε.n

    ,:  -=,

    4n+144(4n+1)16n16ε

    )=取N(ε,本题可得证.

    16例2 证明lim3=0

    n→∞7n+4

    ε>0,由-0=证:Π

    7n+47n+47n2即可.)=解出n>ε,取N(ε

    -0=本题中的是一个有理分式,一般可采用放大分子或变小分母的办3

    7n+47n3+4

    ),这个f法把它放大为g(n)=2,2(当n趋于∞时)仍是无穷小量,解出n>=f(ε

    ε7n7n

    (ε)只与ε有关,不依赖于n,因此这个放大是适当的(也可将-0放大为2或),3

    n7n+4n

    但是,学生常常出现下面的错误:

    ε>0,由-0

    7n+47n3+4

    3

    3

    只需7n+4>ε,即n>-,

    7ε7

    3

    ,显然错误在于求得的N与n有关,所以并未证出.因为数列极于是取N=-7ε7

    76  娄 底 师 专 学 报             总第59期

    限的定义是:对每一个给定的正数ε,都能找到某一确定的N,事实上,此题对于每一个给定的正数ε,当n→∞时,

    →∞,从而不存在确定的N.-7ε72例3 证明lim2=

    n→∞2n-122

    -证明:由=

    2n2n-124n2-2

    3

    ε>0,ϖN=,∴Π,当n>N时,

    4ε-4ε-有 an-

    该题的解法从形式上看似乎没有什么错误,但仔细看一下,所求的N是没有意义的的,如

    果取ε=时,N就不存在,原因是放大过头了,正确的证法是:

    2

    2ε>0由-Π=1),222

    2n-124n-24n-4n-1n-1

    取N=ε+1,本题可得证.

    2例4 证明lim2=

    n→∞3n+2n-72证明:

    nnn-(3-3(3n+2n-7)9n

    2,ϖ=-,当n>N时,都有

    3n+2n-73

    该题是用了“适当放大法”使得N很易求出,但是在放大过程中却忽略了使不等式成立的条件,上式中第一,三不等式对任意的n是成立的,但是第二个不等式成立是有条件的,必须

    在2n-7>0,即n>7/2才能成立.因此该题的N应取max,.

    ε2

    综上三例,可得到用定义证明数列极限求N的方法是:

    由|an-A|≤…≤M(n)

    (1) |an-A|≤M(n)这种放大法必须检验每步放大使不等式成立的条件,并且保证M(n)仍能任意小(n充分大时),使得由M(n)

    (2) 解不等式M(n)

    取N=

    2 用定义证明函数极限

    我们知道用定义证明数列极限时,常常先假设n大于某固定值,然后通过估计求得合适的N.类似地用定义证明函数极限limf(x)=A,有时也需要先假设|x|大于某固定值,以求

    x→∞

    得合适的正数M.

    2例5 证明lim2=3

    x→∞x-5x-14ε>0,假设|x|>14,要使证:Π

    2-3=2

    |x-7||x|-7|x|x-5x-14

    |x|+(|x|-7)22

    1999年第4期             杨曼英:略论用定义证明极限的教学         77

    可取M=14,ε,当|x|>M时便有

    22-3

    x→∞x-5x-14x-5x-14

    这种证法是先将放大成g(x),g(x)仍为无穷小,以便通过g(x)

    |x-7|

    由于上述极限中x→∞,因此放大过程中允许先假设|x|>14,但是学生在证题时往往取M=ε,出现证明数列时所提到的同类错误.

    ε-δ类似地,用“”定义证明limf(x)=A关键是对Πε>0,证明定义中的δ>0存在.对于

    x→a

    一些简单函数由|f(x)-A|

    先限定x的变化范围,即上述“限制δ”达到使|f(x)-A)|≤c|x-a| (c为常数)的目的便可找到δ了.

    那么如何限制δ呢?方法是:事先取定一个δ1,使0

    0,22=例6,xx-

    |x+

    限制22,由x-

    ε

    所以x2-2

    3,,即可得证.取δ=32

    例7 证明lim=22n→14x-7x+3

    2

    证明:当x→1时f(x)==的分子、分母有零化因子x-1,2

    4x-7x+3(x-1)(4x-3)

    应先约去,即

    ,将|f(x)-A|表示成|f(x)-A|=|φ(x)|・|x-a|,

    4x-3即-2=|x-1|

    4x-3|4x-3|

    00

    选取适当δ1>0,使0

    (a,δ1)与|φ(x)|分母的零点相离,以便求得|φ(x)|的上界M,此处,|φ(x)|=

    |4x-3|

    ,故应取正数δ=,即δ1

    4

    意一个正数都可以,我们取δ,即先限定1=5

    01-=,

    555

    分母有唯一的零点x0=

    78  娄 底 师 专 学 报             总第59期

    ∴ |φ(x)|=

    |4x-3|

    ε>0,取δ=δ故对Π1,当0

    2

    2

    M

    2

    =,5-2

    4x-7x+3

    ∴ lim=2.2x→14x-7x+3

    解答这类题时,有的学生常常不适当的限定0

    了|φ(x)|=

    中分母的零点,而在x=3/4的邻域内无界,因而不存在某正数

    |4x-3||4x-3|

    M为|φ(x)|的上界,找不到定义中的δ,不能达到证明的目的.

    2例8 证明:lim=-32x→1x(x-x-4x+4)3

    22)=-(-证明:

    3x(x3-x2-4x+4)3x(x2-4)

    22   =x-1,这里φ(x)=

    3x(x2-4)3x(-令3x(x2-4)=0,得φ(x)分母的零点x10,x,4)-2这里与a=1x1,1||1的任意一个正数都可以.0

    222

    ∴ 3|x|・|x2-4|>-4=

    248

    4x2+4x-9=(2x+1)2-10

    -(-)32

    3x(x-x-x+4)

    2

    |x-1|=

    |x-1|

    取δ=,即可得证.,2208

    f(x)极限的步骤为:1° 消去f(x)的零化因子(x-a)并化简函数f(x)

    002° 选取合适的δ1>0,使x∈V(a,δ1),应使V(a,δ1)与φ(x)分母的零点相离,以便

    求得|φ(x)|的上界M.

    3° 找出定义中所需要的δ=δ1,

    M

    .

    通过抓以上几个环节的教学,不仅使学生初步学会了运用定义证明数列极限与函数极限的方法,还培养了学生的数学思维能力,收到了比较好的教学效果.

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